Probabilités
De nombreuses études statistiques de champs variés (biologie, étude des populations, économie, ...) ont en commun de présenter une majorité dominante moyenne, et des extrèmes rares. Par exemple, une majorité des hommes mesure entre 1,65m et 1,85m tandis qu'il y a une minorité de grands et de petits. La courbe suivante colorie cette minorité (5 % avec 2,5% de petits et 2,5% de grands) : Le même type de courbe apparaît sur des études statistiques de poids ou de pointures de pieds. Ce type de courbe s'appelle une courbe de Gauss ou gaussienne, en référence au mathématicien Carl Friedrich Gauss. Les études sur le quotient intellectuel font aussi apparaître une gaussienne : Notation d'un film sur le site allociné : Il est possible de retrouver des gaussiennes pour de nombreux autres exemples : répartition de la population à distance d'une ville importante, température à proximité d'une source de chaleur (ampoule, soleil,...), magnitude des tremblements par rapport à la distance de l'épicentre d'un séisme, etc.

Loi normale centrée réduite $\mathcal{N} (0,1)$

Une variable aléatoire $X$ sur $\mathbb{R}$ suit une loi normale centrée réduite si sa fonction de densité est : $$\phi (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$ On note cette loi $\mathcal{N} (0,1)$ La courbe obtenue s'appelle une gaussienne ou courbe de Gauss. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. L'aire sous la courbe vaut 1 car $\phi$ est une densité de probabilité. Ainsi : $$\int_{-\infty}^{+\infty}{ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx} = 1$$ Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ :
  • $P (X > 0) = \frac{1}{2}$
  • $P (X \leq 0) = \frac{1}{2}$
  • $P (-1,96 \leq X \leq 1,96) \simeq 0,95$
  • $P (-1 \leq X \leq 1) \simeq 0,683$
  • $P (-2 \leq X \leq 2) \simeq 0,954$
  • $P (-3 \leq X \leq 3) \simeq 0,997$
  • Les deux premières égalités se justifient car la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et que son aire totale vaut 1.
  • Il faut comprendre que $95 \%$ de l'aire de la courbe se trouve entre $-1,96$ et $1,96$
  • Environ $68,3 \%$ de l'aire de la courbe se trouve entre $-1$ et $1$
  • etc.
  • La variance $V (X)$ (on ne la calcule jamais) est définie par : $$ V (x) = E ( (X - E (X))^2 ) $$
  • L'écart-type $\sigma$ est défini par : $$ \sigma = \sqrt{V (X)} $$
L'écart-type décrit qualitativement l'écart moyen des valeurs de $X$ par rapport à l'espérance. Si la variable aléatoire $X$ suit la loi normale standard, son espérance est $0$ et sa variance est $1$. La preuve du théorème suivant est exigible :

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi $\mathcal{N} (0,1)$.

Pour tout nombre $\alpha \in ]0,1[$, il existe un unique nombre $u_\alpha > 0$ tel que : $$ P (-u_\alpha < X < u_\alpha) = 1 - \alpha $$

En travaux....

Loi normale générale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

Une variable aléatoire $X$ sur $\mathbb{R}$ suit une loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ si $\frac{X - \mu}{\sigma}$ suit une loi normale centrée réduite Les deux paramètres $\mu$ et $\sigma$ correspondent à l'espérance et à l'écart type de la variable aléatoire $X$. On note
  • $E (X) = \mu$
  • $V (X) = \sigma^2$ s'appelle la variance
  • $\sigma = \sqrt{V (X)}$
 On peut les interprétations suivantes pour ces valeurs :
  • L'espérance correspond à la valeur obtenue en moyenne par la variable aléatoire
  • L'écart type correspond à l'écart en moyenne constaté entre deux issues de la variable aléatoire
 On considère (empiriquement) que chez les hommes adultes, la pointure de chaussures est distribuée avec une moyenne de 42 et un écart type de 1,5. $X$ est la variable aléatoire comptant la fréquence d'hommes chaussant la même pointure. $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(42;1,5^2)$. Plus l'écart type est grand, plus les valeurs prises aléatoirement sont "dispersées". On peut observer les fontions de densité de deux lois normales $\mathcal{N}(0;1)$ et $\mathcal{N}(0;2)$, toutes deux centrées en 0, d'aire 1 et d'écarts types différents :
On observer que la probabilités $P (-1\lt X \lt 1)$ est plus importante quand l'écart type est plus petit (valeurs moins dispersées). Nous reprenons l'exemple des pointures masculines, suivant une loi $\mathcal{N}(42,4;1,3^2)$. Donc $\mu = 42$ et $\sigma = 1,5$. Pour calculer $P (41 \lt X \lt 43)$ sur la TI-82 :
  • Aller dans le menu Distrib (faire + )
  • Sélectionner la deuxième fonction normalFRép (faire )
  • On doit donner 4 informations dans l'ordre 41, 43, $\mu$ et $\sigma$. On tape donc normalFRép (41,43,42,1.5). Appuyer sur
Le résultat obtenu nous indique que environ 49,5% des hommes chaussent entre 41 et 43 (pour cette loi). Pour calculer $P (41 \lt X \lt 43)$ sur la CASIO Graph35+:
  • Aller dans le menu OPTN, choisir STAT (F5), puis DIST (F5), puis NORM (F1)
  • Sélectionner Ncd
  • On doit donner 4 informations dans l'ordre 41 (Lower), 43 (Upper), $\sigma$ et $\mu$. Exécuter
Le résultat obtenu nous indique que environ 49,5% des hommes chaussent entre 41 et 43 (pour cette loi). Tracer avec la TI82 :
  • Aller dans et effacer les anciennes fonctions (penser à désactiver Graph1, 2, ...)
  • >Aller dans le menu Distrib (faire + )
  • Sélectionner normalFdp et écrire normalFdp (X,42,1.5)
  • Régler la fenêtre dans avec les valeurs suivantes :
  • Xmin = $\mu - 4 \sigma = 42 - 4\times1,5 = 36$
  • Xmax = $\mu + 4 \sigma = 42 + 4\times1,5 = 48$
  • Pour régler facilement Ymin et Ymax, aller dans et sélectionner ZminMax (le dernier)
 Tracer avec la CASIO Graph35+ :
  • Aller dans le Menu et choisir Graph puis saisir la fonction dans Y1 :
  • >menu OPTN puis F6 et F3 (STAT)
  • choisir NORM (F1) puis F1 et écrire NormPD (X, 1.5, 42)
  • Régler la fenêtre dans avec les valeurs suivantes :
  • Xmin = $\mu - 4 \sigma = 42 - 4\times1,5 = 36$
  • Xmax = $\mu + 4 \sigma = 42 + 4\times1,5 = 48$
  • Pour régler facilement Ymin et Ymax, aller dans le menu ZOOM et sélectionner AUTO